编者按：场外期权作为资本市场中的重要金融工具，为诸多市场主体与投资者提供了灵活的风险管理和收益增强手段，也正是因为其灵活性与复杂性，导致大众缺乏对场外期权的基础认知。中证报价投教基地推出“场外期权基础知识”专栏，邀请交易商深入浅出地介绍场外期权的基本概念、风险管理和定价机制，希望能够帮助大家更加全面地了解这一复杂而高效的金融工具。

作者：东方财富证券证券投资总部

蒙特卡洛模拟和树方法模拟了资产价格变动的过程，实际上是从期权价值生成的角度来进行期权的数值求解。因此这两种方法虽然计算效率低，但展现的思想是比较直观的。最后要介绍的两种方法——有限差分法和数值积分法，本质上就只是两种数学求解工具，在难以求得期权定价公式的解析解时，可以使用这两种方法，以较高的效率求出数值解。

▍有限差分法

在数学上，有限差分法常用来求解偏微分方程，从这个角度理解，期权定价的有限差分法，实际上就是偏微分方程（PDE）法。在整个流程中，使用有限差分法求解偏微分方程实际上是个数学问题，真正与期权定价思想有关的，反而是BS偏微分方程的来源。

“期权定价公式”一章中，我们在介绍BS公式时曾经提到过这个偏微分方程：

上述方程中的变量是时间t、t时刻标的价格S和t时刻价格的期权价值V，其余都是参数。对于远离高等数学的普通投资者来说，这个方程还是比较抽象的，因此我们一直没有展开来讲。但这并不意味着它不重要——事实上，在期权定价当中，BS偏微分方程有着不亚于BS公式的地位，因为它是无套利思想的直接结果。当然，使用风险中性的假设也可以推出这个偏微分方程，这一过程被归结为费曼卡茨（Feynman-Kac）公式。

差分的意义在于将相邻时间、价格节点的期权价值建立了联系，从而我们可以依据已知节点推得未知节点的期权价值。如下图所示，到期日的期权价值是已知的，可以据此逐步前推，求出期初的期权价值。

对于相同的节点，不同的差分方式可能需要不同位置的已知节点，上图中是三个下一时刻的节点，这种差分方式被称为显式差分。另外还有可能用到相同时间不同价格的节点，这种情况下，在求解过程中，除了需要从到期时间往前推之外，还需要从两边的价格往里推，如下图（隐式差分）所示。

对于上图的隐式差分法来说，还需注意的一点是，完整的价格范围理论上是无限的，我们需要将其截断之后再开始向内迭代——这就是“有限”的由来。

▍数值积分法

顾名思义，数值积分法，在数学上就是求解定积分的一种方式。关于期权定价与定积分之间的关系，我们在“期权定价的解析解”一章中已经有所介绍。不熟悉高等数学的普通投资者甚至不需要理解定积分是什么，下图表达的含义已经足够直观：无非是把每个点的支付和概率相乘，然后全部加和。

这也恰恰是求取定积分数值解的一种思路。我们可以把价格区间切分成有限段，每段内的“概率×支付”在一定误差范围内相等，如下图所示，只需计算这些“概率×支付”，然后全部加和。

上述这个方法相对比较简单和直观，但是误差也比较大，一个改进方法是在每一段内使用容易求解定积分的函数去拟合；期权定价的数值积分法普遍使用的辛普森法则，就是沿着这个方向去改进的。

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