▍BSM模型诞生背景

自19世纪出现有组织的场外期权市场后，如何确定一个期权的价值，就逐渐引起了业界和学界的关注。对于一只流通的股票，我们可以很容易从市场上观测到它的价格，如果流动性足够好，我们观测到的价格也会接近真实的价值。然而对于衍生品，特别是场外衍生品，其价格将很难被观测到。模型的作用，就是提供一种估值方法，让人们能通过流动性较好的且已知价格的证券，推算出其他流动性较差的证券价值。

关于期权定价模型的研究由来已久。自19世纪20年代布朗运动被提出后，1900年法国的金融学家劳伦斯·巴施里耶（Louis Bachelier）就将布朗运动引入了他的期权定价模型中，随后越来越多的科学家以布朗运动为基础对资产价值进行建模。直到1973年，斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes）和他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fisher Black）合作研究出了一个较为完整的期权定价模型。与此同时，哈佛商学院教授罗伯特·默顿（Robert Merton）也发现了同样的公式及许多其它关于期权的有效结论。两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。因此，Black-Scholes模型（BS模型）亦可称为Black-Scholes-Merton模型（BSM模型）。默顿拓展了原模型的内涵，丰富了BSM模型的可应用场景。

假设资产价格服从几何布朗运动的经典BSM模型在提出后被业界广为接受，从此到1987年的美国金融危机，市场上期权的价格与BSM模型几乎吻合，仅在不同期限上因为波动率的调整而有微量的偏离。即使1987年金融危机后，市场依旧以BSM模型下的隐含波动率来描述期权的价格。

▍BSM模型假设

（1）期权为期末行权的欧式期权；

（2）标的资产在期权存续期内无分红；

（3）能做多及做空任意数量的标的资产；

（4）标的资产价格服从几何布朗运动；

（5）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；

（6）短期无风险利率在期权存续期内恒定且可知；

（7）股价收益率服从正态分布，收益率的波动率恒定且可知。

现金和债券作为最基本的资产，他们的价格会影响几乎所有的衍生品价格。在违约率很低的前提下，银行储蓄账户利息、国债利率、LIBOR等都可以用作无风险资产收益的近似。基于连续复利的模型抽象，我们可以得到最基本的无风险资产价格模型。

不失一般性，货币市场账户的动态过程可以写为：

但在BSM模型中，假设（6）将无风险利率设定为常数，因此：

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